小數換算分數缺陷(10/05版)

先提供用小數換算分數的辦法，也是證明或導出公式的辦法。

舉例換算0.8循環。設S=0.888...也就是0.8循環，則10S=8.888...也就是8.8循環，兩式相減10S-S=9S=8（因無限循環節8已被相減掉），故S=8/9（九分之八），這是正確的，8除以9確實等於0.888...循環。

公式：小數點後數字-小數點後非循環節數字/n個9 m個0（n為循環節個數，m為非循環節個數）。

這是我在試的時候無意間發現的或許是公式的缺陷或例外，提出來希望有人知道為什麼。
換算0.9循環以相同方法，設S=0.999...也就是0.9循環，則10S=9.999...也就是9.9循環，兩式相減10S-S=9S=9（因無限循環節9已被相減掉），故S=9/9（九分之九）=1，因此得到結論，0.9循環=1。
這…為何？

---980802
至今都想不出來，似乎也沒有人確實知道原因，我去問了老師，卻還是很難解釋為什麼。
簡單來說0.9循環應該是除了1以外最接近1的數字，但卻既不是1又不是0.9。
正確來說，0.9循環無法用分數來表示，應該這麼說吧，很奇怪，不管用公式或利用原理都只是得到1。
或許會有更好的解釋，但是暫時，0.9循環是沒有分數的形式的。
有知道詳情的人還請補充說明，謝謝。

---980813
感謝五樓的回應，這讓我產生新的想法。
假設0.9循環=1，用同樣的方法兩邊先同乘10倍在減掉原數，變成9=9，這似乎可以證明0.9循環=1?
還是不暸。

---980821
再次感謝五樓匿名網友的補充，根據他的說法，0.9循環=1是正確的(請自行到回應中看)，我暫時也這麼認同，但是沒辦法完全肯定，因此會先保留，有更好的解釋會再提出，有其他想法的人也歡迎發表，謝謝。

---980822
感謝 小政學長熱心相助，這讓我產生很大的啟發，我概略的整理一下。

學長強調了一點就是無限到底有沒有限的問題，我在3樓的回應中已經討論過了，但是這實在是個很矛盾的問題，無限循環小數到底有沒有底呢？個人認為並不能當作有底來計算，這已經失去去討論「無限」的意義。
還有一點，就是誤差，也許這種算式中會產生一種誤差，這種講法很特殊，因為似乎否定了此算出帶出的其他等式，但是學長說我們在計算的過程中會忽略掉那些多餘的誤差，只有在0.9循環=1的狀況下才可能注意到。因此這種算法就是突顯出誤差罷了，這種講法我覺得十分合理也頗認同。
最後，基本上，人的理解是有限的，因此不能去討論無限的問題，小政學長：「我們沒辦法對無限去下定義。」

致上萬分感謝，以上說法大部分都是小政學長的提供，我把這種講法整理後提出來，希望沒有理解錯誤的情況，個人對於產生誤差的說法十分認同，至於產生誤差的原因則是人的理解是有限的。以上說法給大家當做參考，如果有任何新的想法會再補充。

---981005
數學第2-2無窮循環小數有提到，看來0.9循環是確實等於1的，但在前文中以刪除方式減掉無限循環節的方式是不夠完備的，利用無限等比級數便可以求出。
設S=0.9循環=0.9+0.09+0.009+...=0.9*10^0+0.9*10^-1+0.9*10^-2+...，帶入公式，公比r為10^-1，首項a為0.9，a/1-r=0.9/1-0.1=0.9/0.9=1。
故證明0.9循環等於1

感想：沒想到這竟然會在數學課提到，不過很早就開始思考這個問題看到時就會有不同的感想，雖然不是自身的頓悟卻也又了解了一種特殊的現象，很明顯人會被所知所侷限住，從小的教育環境便會學習到9不等於1，在這邊便會又陷入此種邏輯，感覺非常嘖嘖，感想結束，此篇到此告一段落。