無窮彈性碰撞

這是一篇看起來就很唬爛的學術性文章，裡面竟然在嘗試同時用古典力學[1]和量子力學[2]解釋一個人類根本就無法理解的狀況。
在這裡我要先做出聲明，這並不是普通艱深與普通唬爛程度的文章，裡面也並沒有使用詭辯、沒有融入任何悖論，並且會消耗大多數的腦細胞，如果想要完全看懂並提出反駁請先理解內文中提到的許多原理及理論，在文末會附上註解提供外連，定義部分以及計算過程也會盡可能的附在文末，建議想看懂本文的人要先確定自身已經瞭解文內提到的細節。

首先，直接進入本文的題目：如果有一顆球，從高處落下，與地面碰撞反彈後又落下反彈如此往復進行，它會不會停？單看此題目敘述十分簡顯易懂，但是現在要開始做出比題目還長的補充：假設此小球非常小，在此以一原子來做替代，但為了理解方便後文還是以球代稱。地面質量十分龐大，在此以地球來做替代，不考慮空氣阻力，直接去掉大氣層的存在。但是並不忽略所有其他的因素及外力。

現在要討論的是，這顆球到底「會不會停」？先考慮現實生活中，無論多麼大力丟球，球都會停下來，我們可以理解這是因為空氣阻力的存在，加上地球質量遠大於小球的質量造成。但是現在沒有了空氣阻力，我必須先解釋本文考慮的因素非常細微，提出一個極端的例子：如果兩個無氫鍵[3]的原子在無外力的狀況下相互因萬有引力接近後又因電子的靜電力彈開，如此重複，會呈現簡諧運動[4]並永遠不會停止，而兩原子的平衡點便是斥力與引力相等的位置。
回到文中的狀況，為什麼地球與小球就不會進行這樣的簡諧運動了呢？其實還是會的，只是質量相差太過懸殊，振幅太過微小無法觀察，但是，在文中還是不會忽略此種狀況。

看過以上例子後相信各位可以理解這是不會停止的簡諧運動，但是回到此段第一句的問題，也就是這顆球永遠不會停？這時候必須再引入量子力學中的「震盪[5]」，在大部分科學家的眼中，所謂的「靜止」基本上就是不考慮原子在原地做微小的震盪，換句話說，原子在原地做微小的震盪還是可以算是靜止的。

這時候各位大概可以了解我要表達的是什麼，在這裡我把「靜止」的定義做出不包括震盪的補充。直接切入原題後也就是這顆球「會停」，而且根據定義是在彈起的高度(振幅)不大於震盪的振幅時稱做「停」。

但是這時候又產生了一個問題，這個簡諧運動為什麼又會停了呢？根據剛剛的敘述這應該是個永遠不會停止的簡諧運動，在這裡我要提醒各位再度回到巨觀的世界中，兩物體簡諧運動的振幅通常是在「振幅小於兩物平衡點距離」下做討論的吧，因為在巨觀世界中振幅不能大於兩者的距離，否則那便是碰撞的情況而不是簡諧運動了。因此再回到原子的世界中，這個簡諧運動的前提也就是振幅要夠小才行。

文章至此終於定義告一段落，並解釋完部份的原理。

撰稿至此，赫然發現「震盪」其實就是量子力學中的「共振」，但經過確定後兩者可以通用。

這時候如果要進入題目的計算，想必必須要先得知震盪的振幅，才能算出在什麼時候此反彈才會停止，但是若要算出共振的振幅，可以透過一個與線性震盪器類似的公式[6]求得，但是這又會牽扯入兩個反彈的原子的特性，包括公式內所需要的的衰變率(Γ)及質量(竟是以複數M+iΓ的形式來做計算)。

所以在這邊直接再引入「測不準原理[7]」，測不準原理並不只是在「測」中出現，而是物質本身就具無法確定的不確定性，所以也稱為「不確定性原理」，因此本題中雖不考慮觀測者及觀測方法的因素，仍然可以適用此原理。

根據測不準原理直接導出的結論，如果物體運動的位置變化如果在小於約化蒲朗克常數[8]的一半時，這便是沒有意義的(或說做無法觀測的)，所以我們可以直接做出結論：振幅小於蒲朗克常數的一半時便是靜止。

現在終於可以進入原題目的計算，以下自行假設實際狀況。

假設小球是一個碳(¹²C)[9]原子，質量為12amu=1.992646632*10^-26kg，初落下高度為1公里，反彈的恢復係數[10]是e=0.5，也就是碰撞後的速率變為碰撞前的一半，計算後得到彈起的高度會是落下高度的1/4。

速度變化為：1^st落下末速為140m/s，2^nd落下末速為一半70m/s…類推。

第n次落下末速為140/2^n-1。

落下高度變化：1^st落下1000m，2^nd落下250，3^rd落下125/2，4^th落下125/8…類推。

故：1000^∞Σ_n=0 1/(4ⁿ)，當然不會是無限而是暫用這個符號來表示，這是個收斂的級數，每項會趨近於0，第n項為1000/4^n-1。

設第n項動量與位置的乘積小於約化蒲朗克常數的一半(5.272858409*10^-35)，代入公式[11]得到n>17.6(計算過程[12])，意即第17次彈跳後停止。

令人驚訝的是，這時候的速度還有0.159cm/s，而高度有58207.66皮米[13](碳原子半徑為67皮米)，即已經「測不準」了。

(此段與本文只有少許關聯)在這邊順道計算一些其他東西彈跳的n值，先把算式整理成公式後：n>LOG10(16*M*H*SQRT(2*9.8*H)/h)/(3*LOG10(2))，(可直接複製至excel用，M=質量(kg)，H=高度(m)，h=約化蒲朗克常數)。

可以得到有趣的數字：

-->

質量M	落下高度H	n最小整數值
1公克	1公分	35
1公斤	1公尺	42
1公噸	1公里	50
地球質量	地球半徑	80
太陽質量	1AU	94

-->

(當然了，後面兩項並不是帶入公式這麼單純的，純屬趣味。)

計算的部分先告一段落，現在進入無限的領域，理論上來講，雖然我們定義他停了，但是它可能還會繼續不斷的細微運動(或是共振)，所以這跳到了另一個問題：到底要多久才會停？現在只考慮牛頓力學的部分，根據力學能守恆我們可以計算出第n次的反彈速度為eⁿ(2gh)^1/2，第n次反彈後在空中停留的時間為2eⁿ(2h/g)^1/2，總時間為T=(2h/g)^1/2(1+2^∞Σ_n=1eⁿ)=(1+e/1-e)(2h/g)^1/2，e為恢復係數 (計算[14])。

所以現在根據前文討論的結果，總時間為T，但是我們知道落下的高度會逐漸趨近於0，但卻永遠不會為0→所以它永遠不會停，因為永遠可以落下。

再回到純數學的部分，剛剛算出的T時是總時間，因此我們知道第k+1次會比第k次的時候更接近T，第k+2次也會比第k+1次的時候更接近T…類推，此級數會不斷逼近T卻永遠不會到達，這十分類似於阿基里斯與烏龜賽跑的悖論[15]。

這時候回到現實，如果我們坐著時光機直接跳到T時去，看到的到底會是什麼呢？

很明顯，這是一個無窮級數的不可靠之處，根據公式可以求出一個確切的數值，但其實也可以說這數值並不存在或沒有意義。

要破解這道謎題，就必須再往回看，把前文提到的測不準原理一併應用進去，這便是為什麼這是同一篇文章的理由。

根據古典力學、牛頓力學→它會永遠運動。

根據測不準原理、量子力學→它會停。

根據無窮數列、無窮級數→它不會停，但可以求總時間逼近值。

「→」表示根據…得到。

這些東西單獨看都不好理解，但大家卻習以為常；合再一起看不可置信，卻又合乎邏輯，因為定義各自不完整，但合在一起後卻可以相互補充。

至於如果你要問我關於無窮的問題，我會說「人的理解是有限的，所以無法探討無限的問題」來帶過，雖然敷衍，但是這才是最正確的解釋。

註釋：

[1] 古典力學：以牛頓運動定律為基礎，在巨觀世界和低速狀態下，研究物體運動的基要學術。

[2] 量子力學：描寫微觀物質的一個物理學理論，與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱，許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。

[3] 氫鍵：是分子間作用力(凡得瓦力)的一種，是一種永久偶極之間的作用力。

[4] 簡諧運動：進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，並且力總是指向平衡位置。

[5] 共振：量子力學與量子場論中，共振可能出現在與古典物理相似的場合。

[6] Γ是粒子衰變率，而Ω由粒子質量M取代，頻率為ω。

[7] 測不準原理：指在一個量子力學系統中，一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定。

[8] 約化蒲朗克常數：。

[9] 碳：非金屬元素，位於元素周期表的第二周期IVA族。它的化學符號是C，它的原子序數是6，電子構型為[He]2s²2p²。

[10] 恢復係數：兩個物體在碰撞時，恢復期與形變期的衝量的比率稱為恢復係數。

[11] 。

[12] 質量以M表示，約化蒲朗克常數的一半以h’表示，則：

M*(19600/2^n-1)*( 1000/4^n-1)>=h’ (移項並整理)

→2³ⁿ>(1.568*10⁸*m)/h’ (同取log₂後除以3)

→n>log(1.568*10⁸*m/h’)/3log2

代入原式m及h後得到n>18.5726。

[13] 皮米：皮米(picometer或pm)是長度單位，1皮米相當於1米的一兆（即一萬億）分之一。有時在原子物理學中稱為微微米（micromicron）

[14] 第一次與地面接觸時的速度 v₀=(2gh)^1/2

第一次反彈速度 v₁=ev₀

第二次反彈速度 v₂=ev₁

第n次反彈速度v_n=ev_n-1 v_n=ev_n-1=e²v_n-2=…=eⁿv₀=eⁿ(2gh)^1/2

第n次觸地後停留空中時間 t_n=2v_n/g=eⁿ(2h/g)^1/2

總時間 T= (2h/g)^1/2(1+2^∞Σ_n=1eⁿ)=(1+e/1-e)(2h/g)^1/2。

[15] 阿奇里斯悖論：動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。

本文題目及[14]解法來自：《1994~2009年國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊選拔考試 初選試題及解答彙編》，p.36第十題。

有關無窮級數的某小部分想法來自：《毛起來說三角》，Eli Maor，湖守仁譯，天下遠見出版股份有限公司。

在此感謝我的暑假作業。

另外，本文構思、撰稿、查資料、複審、校稿共花了至少七個小時，感謝您閱讀至此，歡迎提出批評及修正。

｢這是假話｣是假的

請先看看這個最簡單的｢句子｣：
這是假話。

(pf1)
若這句話為真，這此話為假，故矛盾。
若這句話為假，則此話為真，故矛盾。

這是最簡單大家都會的判斷方式，但這樣得出的結論是什麼？
應該是這不是個命題，也就是無法判斷真偽。

會這樣說是因為並不是所有事物都非對即錯，所以我們才能說他不是對的也不是錯的，是無法判斷對吧？ -(#1)

到目前為止都很合理。

但是讓我們再重新詳細的看一遍。
(pf2)
若這句話為真，則｢這是假話｣是真的，所以這是假話，故矛盾。
若這句話為假，則｢這是假話｣是假的，所以...，這時候就發生錯誤了，可能很多都會很自然的認為｢所以這是真的｣，但根據(#1)，並不是非對即錯，那｢這是假話｣是假的誰說就是真的呢？
將｢是假的｣(負號)放入此語句內，變得到｢這不是假話｣是真的，｢是真的｣可以去掉(正號可忽略)，因此是｢這不是假話｣，在(pf1)中我們很快的得到了這是真話所以產生矛盾，但並沒有考慮進(#1)，考慮進後，｢這不是假話｣並不表示這是真話，故並不矛盾。

因此得證，｢這是假話｣為假。

至於為什麼｢這是假話｣為假不為真就有很多可能了，例如｢這其實不是話｣或｢這｣其實不是指這句話..等等。

緣分

緣分曾出現在許多人口中，儘管神秘，但卻似乎足以解釋各種的巧合。
沒錯，那只不過是用來解釋巧合。

就以最簡單的朋友的相遇來舉例好了，時常會有人說彼此的相遇是種緣分，但是真的是這樣嗎？
如果將所有人都單純化，分為100000種人格(人格無法詳細分類，但以概略的說法已有許多的相似型存在，並算為一類)，在這些人中，可能會成為你的好朋友的人格種類至少有100種(可以試想在同班同學30人中有1人為朋友此比率已經十分高)，因此根據這些假設，你有1/1000的機率遇到眼前你所珍惜的緣分。
再引用另一段研究，全世界的人都是在你朋友的6次方以內，意思就是不管你要找誰，都可以在朋友的朋友的朋友的朋友的朋友的朋友內找到。
而以從小到大接觸的人來說，光是學生時期便能接觸到至少500人(特別孤癖者不論)，在這500人中已經有1/2的機率遇到｢緣分｣，請注意，到此時你的人生只過了不到1/4，這已經是十分高的機率。

大家必須考慮進一個因素，生命所需要的要素以每件出現的機率為1/10來計算，生命出現的機率至少為1/1000000000，在這樣的機率內生命誕生了，而你卻還有至少1/2的機率在你的1/4人生中認識朋友，但卻以緣分來解釋。

此文並不是告訴大家不需珍惜緣分，而是有太多的巧合(暫且以巧合來代稱)被以緣分來解釋，
如果你遇到的每個人都是緣分，那這樣緣分又有什麼意義，因為人總會遇到人，人遇到人時卻總以緣分來解釋為什麼會遇到人。

緣分，總被拿來解釋成社會上的巧合，有時候可能會剛好遇到一個人，這時候就被叫做有緣，但你遇到人的機率幾乎是百分之百，而因為生活圈總是重疊，遇到認識的人的機率也絕對高於踩到狗屎的機率，但你會說你踩到狗屎是緣分嗎？

因為人無法解釋為什麼遇到，為什麼接觸或是為什麼相遇，便全數推給緣分來解釋，但殊不知緣分其實並不存在，就算在宿命論中，｢緣分｣也是註定好的，既然註定好了，那還需要什麼緣分來解釋呢。

人總是以緣分來解釋社會上的巧合。

---20140320
「緣份」為「緣分」的誤用，現已通用。來自緣份，還是緣分？。
上面所提的巧合便是機率，但因為機率數值之低，凸顯了其價值之高，或是說：人會因此更認為緣份有價值。

靜止時空

在許多小說、漫畫、卡通中，出現過的---時間靜止或類似的裝置，曾在每個人心中，擁有無限的幻想，在我的心中，也曾經擁有那麼一點奢望，想要控制時空。
時空？為什麼｢靜止時間｣與｢靜止時空｣總是同時出現？
此文醞釀了許久，但基於依據背景十分冷門而遲遲沒有發表，不過我還是決定分享出來，希望可以激發出其他想法。
這是來自一本書的靈感，雖然只是一小部份的概念，還是十分的重要。
反空間論-蕭瑞麟著，白象出版社。

在前文｢時間點線面｣與｢宇宙三次方理論｣中已經出現過類似的想法，在這裡為了表達完整，必須重新定義與解釋：
1.以最簡單的方式來解釋，各位可以想像，空間是個三維座標系統，而這個龐大的座標系統，在一個一維的時間軸上不斷向前(未來)移動，這是最簡單的形容方式，僅供參考。

2.正確的解釋，則是沒有時間此一東西，純粹是｢空間的變化｣，沒錯，人們為了表達空間的變化，而創造出｢時間｣這個詞，並不是為｢時間｣命名。
舉例來說，速度是位置的變化量，對應到的是時間，因此是x/t，即為位移/時間，而位移又等於位置的變化。若要以類似說法表示，則可以說成時間是空間的變化，但空間的變化暫時無法表示，因此僅出現了時間這個單位。
空間在流動，可以參考｢反空間論｣中的說法：空間的流失與增加，造成了時間與能量(能量部分暫不討論)。
因此，沒錯，簡單來說，時間僅是空間在變化而產生的。

這時候，相信各位很好理解，為什麼｢時間｣與｢時空｣總是並存著出現的了。
可以猜想，我是要依據這個理論，來解釋如何暫停時空。
對，非常簡單，白話來說，只要將空間的變化停止，時間理論上，理所當然的是停止了。

讓我們想像一下，如果你可以看到一個空間，完整而獨立不受任何其他因素干擾的空間，而你可以注視它、觀察它的變化，那你便可以清楚看到空間再改變，時間正在向前移動。
這時候，如果他停止了變化，你看起來是不是就像時間靜止了呢？

沒錯，停止時間的理論就是藉由這個想像產生的，接下來是證明：
根據｢時間的變化是空間的變化｣，可以得到｢時間的停止便是空間的停滯｣，
因此｢空間不變即為時間不動｣→｢只要使空間完全不動，便是使時間停止｣。

x表示空間的變化，t1、t2為時間點
=>│t2-t1│=△x (時間差等於空間變化的變化量)
if x=0 (空間無變化)
→△x=0 (空間變化的變化量等於零)
=>│t2-t1│=0
=>t1=t2 (時間點不變(靜止)，得證)。

在這個理論下，我想像出最簡單最原始的時間停止的模型，便是讓所有能量消失，這邊不探討達到的可能性，純粹理論部分：
將某空間中能量完全去掉，包括：oK，無動能，無位能，無帶電量，無磁場...等等。
則完全沒有能量足以使空間產生變化，那麼，時間便停止了。
當然，這個方法還是有缺陷不足之處，我是指去掉能量停止時間的方法，這邊就暫且不提。

本文僅為純理論，請不要用現實生活中總總達到的可能性與因素來批判或驗證，理論部分歡迎大家提出看法，而如何讓它成真，又是另一回事了...

---20100831補充
在維基百科的「時空」內看到一段話：「空間是存在的必然形式。 時間是存在的表現形式。 空間＋時間＝運動」。
與本文相呼應，也就是空間去掉了時間就沒有運動，相對來想，空間去掉了運動也沒有了時間(或是說時間沒了意義)。